Matematika's Blog

Selasa, 29 Maret 2016

Fakta-Fakta Angka Nol

1. Nol adalah angka yang terakhir muncul setelah kemunculan angka 1 sampai 9

Menurut kami, inilah mengapa pada abjad-abjad yang biasanya ditempelkan di tembok untuk belajarnya kita waktu kecil, setelah huruf alfabet, di bawahnya biasanya tertulis angka, yaitu 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Mengapa bukan 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Mungkin karena angka 0 ditemukan terakhir setelah angka 1 sampai 9.

2. Identitas penjumlahan, yaitu 0, sebarang bilangan ditambahkan 0, maka hasilnya adalah bilangan itu sendiri

Namanya juga identitas penjumlahan. Sudah sangat jelas dan sangat setuju.

3. Perkalian dengan nol, menghasilkan bilangan nol

Perkalian dengan nol menghasilkan nol. Ini namanya bukan identitas perkalian. Kalau identitasnya perkalian itu adalah 1. Karena sebarang bilangan real (kecuali nol) dikalikan 1 sama dengan bilangan itu sendiri. Kalau yang perkalian dengan nol ini kami sebut sifat.

Kita tadi sudah tahu tentang identitas penjumlahan, yaitu sebarang bilangan ditambah nol sama dengan bilangan itu sendiri, tentu saja $1 + 0 = 1$

Coba sekarang kedua ruas dikalikan a (sebarang bilangan real), maka hasilnya adalah $a \cdot 1 + a \cdot 0 = a \cdot 1$

Sekarang kedua ruas kita kurangi $a \cdot 1$ , maka dihasilkan $a \cdot 0 = a \cdot 1 - a \cdot 1$

Sama dengan $a \cdot 0 = 0$

Bahkan, saya pernah membaca buku di perpustakaan, dan di dalamnya dituliskan bahwa $0 \times \infty =0$

Secara logika sih setuju-setuju saja. Tetapi bagaimana dengan pernyataan ini : “Tak Hingga $( \infty)$ adalah bukan bilangan real”. Jadi, apa mungkin bisa dioperasikan dengan bilangan real, yaitu nol. Mungkin yang pengetahuannya lebih, bisa membantu berkomentar untuk menyimpulkan.

Kami sih percaya saja dengan buku itu bahwa $0 \times \infty =0$

Karena dulu saya juga pernah mendapatkan $\infty +5= \infty$

4. Nol dibagi dengan angka berapapun (kecuali nol), maka hasilnya adalah 0

Bagaimana dengan ini : $a \times 0 = 0$ , tadi yang kita bahas sebelumnya. Kalau kedua ruas dikalikan dengan $\dfrac{1}{a}$ dengan a tidak sama dengan nol. Maka menghasilkan,

$a \times 0 \times \dfrac{1}{a}= 0 \times \dfrac{1}{a}$

Jadi, kita peroleh $\dfrac{0}{a}=0$

5. Pembagian dengan nol sama dengan tidak tentu, oleh karena itu hal ini tidak didefinisikan.

Nol per nol, hasilnya adalah tidak tentu. Perhatikan berikut ini :

$0 \times 1=0$ , maka $\dfrac{0}{0}=1$

$0 \times 2=0$ , maka $\dfrac{0}{0}=2$

$0 \times 3=0$ , maka $\dfrac{0}{0}=3$

$0 \times 4=0$ , maka $\dfrac{0}{0}=4$

Lho… Kok hasilnya berbeda-beda. Nol per nol hasilnya tidak tentu. Terlihat dari beberapa contoh di atas itu saja hasilnya berbeda-beda. Apa yang salah. Tidak ada kan.

Memang. Nol per nol hasilnya tidak tentu. Menurut kami, karena tidak tentu itulah, nol per nol tidak didefinisikan.

Beberapa juga masih berpendapat bahwa nol per nol itu adalah tidak tentu, bukan tidak didefinisikan.Di forum banyak yang berbeda pendapat. Tetapi perbedaannya tidak begitu besar kok. Tentang apa hubungan tidak tentu dengan tidak didefinisikan. (Yang tahu jelas mengenai hal ini, mohon berkomentar).

Bagaimana untuk bilangan yang tidak nol dibagi dengan nol?

6. 10 adalah bilangan asli pertama yang menggunakan angka 0 (terdiri dari 1 angka 0)

Sudah jelas. Karena bilangan sebelum 10 adalh 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. 9 yang tidak terdiri dari angka nol sama sekali.

7. Pendefinisian secara formal, 0 bukan bilangan positif, dan juga bukan bilangan negatif

Nol itu bukan bilangan positif. Dan juga bukan bilangan negatif. Lalu, masuk ke dalam kategori manakah nol itu. Nol itu masuk di dalam kategori netral. Bukan positif dan juga bukan negatif.

Jadi, dibagi menjadi 3 kategori, Positif, Negatif dan Netral.

Positif itu lebih dari 0

Negatif itu kurang dari 0

Netral itu sama dengan 0

Terasa gak adil ya. Himpunan bilangan positif ada sebanyak tak hingga, himpunan bilangan negatif juga ada sebanyak tak hingga. Tetapi, himpunan bilangan netral hanya ada satu, yaitu nol saja.

$0=-0$

8. Nol itu bilangan genap

Apa sih bilangan genap itu? Bilangan genap itu adalah bilangan kelipatan 2. Bukan hanya 2, 4, 6, 8, … yang merupakan bilangan genap. Tetapi 0, -2, -4, -6, … juga merupakan bilangan genap.

Suatu bilangan disebut bilangan genap jika bilangan tersebut bisa dituliskan ke dalam bentuk 2k, dengan k adalah bilangan bulat.

0 bisa dituliskan menjadi bentuk 2k, dengan k=0

Jadi, nol merupakan bilangan genap.

9. Nol bukan bilangan prima dan juga bukan bilangan komposit

Ini sudah definisi dari sananya. Bahwa 0 dan 1 itu bukan merupakan bilangan prima dan juga bukan merupakan bilangan komposit. Definisi bilangan prima juga mulai dari 2. Bukan dari 1.

Bilangan prima adalah bilangan asli yang lebih besar dari 1 yang mempunyai faktor positif 1 dan dirinya sendiri.

10. Bilangan tidak nol jika dipangkatkan nol, sama dengan 1.

Ini kan definisi. Tak bisa mengutak-atik definisi. Definisi ya definisi.

11. Nol pangkat nol sama dengan tak tentu

Pada perpangkatan, kita mengenal sifat yaitu

$a^m \times a^n = a^{m+n}$

Sekarang kita ambil, $a=0, m=0$ dan $n \ne 0$

Maka kita peroleh :

$0^0 \times 0^n = 0^{0+n}$

$0^0 \times 0 = 0$

Jadi, didapatkan $0^0$ sama dengan sebarang bilangan. Bisa 1, 2, 3, 4, dll. Oleh karena hasilnya tak tentu inilah, maka $0^0$ tidak didefinisikan.

12. “Nol” atau “Kosong”

Awalnya dulu saya menyebut kosong. Padahal ini salah. 0 itu dibaca “nol”. Bukan ‘kosong”. Dulu, sangat sering saya lakukan menyebutkan suatu nomor handphone dengan menyebut (0852…), “kosong delapan lima dua …” padahal ini salah. Yang benar itu adalah “nol delapan lima dua …”.

Ayo dibiasakan mulai sekarang.

Sebutlah 0 dengan “nol”

13. 0 ditulis bagaimana?

Awal kuliah saya dikenalkan dengan ini :

$1=0,9999999 \cdot$

Lalu, saya pun bisa menuliskan banyak bilangan ke dalam bentuk itu, misalnya :

$2=1,9999 \cdot$

$1,25=1,24999999 \cdot$

Titik-titik sebanyak 3 itu menandakan bahwa angka 9 berulang terus. Angka 9 berulang terus.

Lalu, bagaimana dengan menuliskan angka 0 ke dalam bentuk tersebut?

Ada yang bisa membantu?

Jika tidak bisa, apa alasannya?

14. Nol adalah bilangan cacah pertama

Beberapa bilangan cacah pertama adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …

15. Nol pangkat bilangan yang tidak nol

Tentu saja hasilnya 0. Jika bilangan tidak nol itu bilangan asli, dengan mudah kita bisa membayangkan bahwa 0 pangkat a (misalnya a adalah bilangan asli) sama dengan nol dikali nol dikali nol sampai sebanyak a.

Jika bilangan a adalah bilangan rasional, tentu bisa digunakan sifat-sifatnya.
Tentu saja bilangan a yang dibicarakan di sini adalah bilangan positif (terima kasih koreksinya untuk : Arif)

16. Nol faktorial sama dengan 1 (0!=1)

Apa itu faktorial? Notasinya seperti ini : “!”

Notasi seperti itu didefinisikan sebagai berikut .:

$n!$ (baca: n faktorial), didefinisikan sebagai perkalian bilangan asli dari n sampai 1 sebagai berikut

$1.2.3.4. \cdots .(n-1).n$

dan $0!=1$

jadi, $0!=1$ adalah suatu definisi.

Banyak yang meyertakan alasan mengapa didefinisikan ini. Banyak juga yang mengatakan bahwa ini bukan definisi tetapi merupakan sifat. Karena bisa dibuktikan.

Tetapi, pada buku yang kami baca, hal ini merupakan definisi. Silahkan mau dipilih yang mana.

17. Nol tak berarti

Pernah melihat bentuk 0017? Apa perbedaannya dengan 17? Tentu saja tulisannya yang berbeda. Bagaimana dengan nilainya. Sama bukan? Nol didepan bilangan asli inilah yang kami sebut sebagai nol tak berarti. Karena penambahan angka nol di sebelah kiri bilangan bulat itu tidak akan merubah nilai dari bilangan tersebut. Begitu juga penambahan angka nol di sebelah kanan bilangan desimal. Tak berarti juga. Tidak merubah nilainya 0000017 atau 0,1700000000000.

Sumber : https://asimtot.wordpress.com/2011/12/20/hal-hal-tentang-angka-nol/

Sejarah Penemu Trigonometri

Al-Battani atau Muhammad Ibn Jabir Ibn Sinan Abu Abdullah dikenal sebagai bapak trigonometri. Ia adalah tokoh bangsa Arab dan gubernur Syria. Dia merupakan astronom Muslim terbesar dan ahli matematika ternama. Al-Battani melahirkan trigonometri untuk level lebih tinggi dan orang pertama yang menyusun tabel cotangen. Salah satu pencapaiannya yang terkenal adalah tentang penentuan tahun matahari sebagai 365 hari, 5 jam, 46 menit dan 24 detik.

Al Battani (Bahasa Arab أبو عبد الله محمد بن جابر بن سنان الحراني الصابي البتاني ; nama lengkap: Abū ʿAbdullāh Muḥammad ibn Jābir ibn Sinān ar-Raqqī al-Ḥarrani aṣ-Ṣabiʾ al-Battānī), Sedangkan dalam Latin dikenal sebagai Albategnius, Albategni atau Albatenius.

Al-Battani lahir sekitar 858 di Harran dekat Urfa, di Upper Mesopotamia, yang sekarang di Turki. Ayahnya adalah seorang pembuat instrumen ilmiah terkenal. Beberapa sejarawan Barat menyatakan bahwa dia berasal dari kalangan miskin, seperti budak Arab, namun penulis biografi tradisional Arab tidak menyebutkan ini. Dia tinggal dan bekerja di Ar-Raqqah, sebuah kota di utara pusat Suriah dan di Damaskus, yang juga merupakan tempat wafatnya.

Astronomi

Salah satu prestasi Al-Battani yang paling terkenal di astronomi adalah penyempurnaan dari nilai-nilai yang ada untuk panjang tahun. Ptolemy menghitung panjang tahun matahari sebagai 365 hari, 5 jam, 55 menit dan 12 detik. Al-Battani menghitung kembali nilai-nilai tahun matahari untuk panjang tahun sebagai 365 hari, 5 jam, 46 menit dan 24 detik. Para peneliti telah menganggap perbedaan fenomena karena Al-Battaniberada di lokasi geografis yang lebih dekat dengan lintang selatan, yang mungkin lebih menguntungkan bagi pengamatan tersebut.

Ia mampu memperbaiki beberapa hasil Ptolemy dan menyusun tabel baru dari matahari dan Bulan. Al-Battani menemukan kembali bahwa arah Matahari berubah.

Dia juga menguraikan ke tingkat tertentu sejumlah hubungan trigonometri, penggunaan sinus dalam perhitungan, dan sebagian dari garis singgung. Ia menjelaskan ke tingkat tertentu karya seorang astronom India, Aryabhata (476-550 M) dan astronom Yunani Pythagoras(570 SM -. c 495 SM). Dia juga menghitung kembali nilai-nilai untuk presesi ekuinoks (54,5 "per tahun, atau 1 ° dalam 66 tahun) dan arah miring dari ekliptika (23 ° 35 '), yang merupakan penjabaran dari Hipparchus. Dia menggunakan tingkat yang seragam untuk presesi dalam tabel nya.

Karya Al-Battani yang dianggap berperan dalam pengembangan ilmu pengetahuan dan astronomi ke tingkat tertentu.

Matematika

Dalam matematika , al-Battani menghasilkan sejumlah persamaan trigonometri:

dan menggunakan gagasan al-Marwazi tentang tangen dalam mengembangkan persamaan-persamaan untuk menghitung tangen, cotangen dan menyusun tabel perhitungan tangen. Dia juga menemukan fungsi kebalikan dari garis potong dan cosecan, dan menghasilkan tabel pertama cosecants, yang ia disebut sebagai "tabel bayangan" (merujuk pada bayangan gnomon ), untuk setiap gelar dari 1 ° sampai 90 °.

Karya

karya utama Al-Battani yang terkenal adalah Kitāb az-Zij, atau buku tabel astronomi, juga dikenal sebagai az-Zij as-Sabi '. Hal ini sebagian besar didasarkan pada teori Ptolemy, dan sumber-sumber Yunani-Siria lainnya, sambil menunjukkan sedikit pengaruh India atau Persia.

Buku ini dicetak diterjemahan ke dalam bahasa Latin dan Spanyol, termasuk terjemahan Latin sebagai De Motu Stellarum oleh Plato dari Tivoli di 1116, yang kemudian dicetak ulang dengan penjelasan oleh Regiomontanus. Sebuah cetak ulang muncul di Bologna pada 1645. MS asli. diawetkan di Vatikan; dan perpustakaan Escorial memiliki di MS. sebuah risalah dari beberapa nilai olehnya pada kronologi astronomi.

Akhir hayat

Al-Battani meninggal pada tahun 929 di Qasr al-JISS (dekat Samarra), Damaskus.

Contoh Penerapan Phytagoras

Teorema Pythagoras dan Penerapannya – Sobat hitung pasti tidak asing lagi dengan rumus a² + b²= c². Itu adalah rumus dari teorema pythagoras. Kurang lebih 2500 tahun yang lalu seorang filsuf yunani bernama Pythagoras menemukan fakta menarik tentang segitiga. Beliau menyatakan dalam sebuah segitiga siku-siku (salah satu sudutnya 90o), kuadrat sisi miringnya akan sama dengan jumlah kuadrat dari 2 sisi yang lain. Mari sobat hitung simak gambar berikut.

Jika kita punya sebuah segitiga siku-siku dengan sisi a,b, dan c

Akan berlaku

a² + b² = c²

dalam teorema yang dikemukakan oleh Pythagoras, sisi c atau sisi miring disebut dengan hipotenusa

Jika kuadrat merupakan luasan persegi, maka berlaku luasan persegi dari panjang sisi a + luasan persegi dari panjang sisi b = luasan panjang dari sisi c. Luasan ini akan kita gunakan untuk membuktikan rumus teorema Pythagoras, simak gambar berikut

dengan melihat gambar di atas maka

Pembuktian Toerema Pythagoras

Banyak cara yang bisa digunakan untuk membuktikan kebenaran teorema ini. Sobat bisa praktek langsung dengan alat atau menggunakan coret-coretan di kertas. Berikut ini pembuktian paling sederhana tentang kebenaran teorema Pythagoras dengan menggunakan luasan segitiga dan luasan persegi. Jika sobat punya segitiga siku-siku, cobalah menyusunnya membentuk kotak seperti di bawah ini.

Luas Persegi Besar = Luas Persegi
putih Kecil + Luas 4 Segitiga
(a+b)²= c²+ 2.a.b
a²+ 2ab + b²= c²+ 2ab

a²+b²= c²

Pembuktian teorema Pythagoras lainnya yang bisa sobat hitung lakukan adalah menggunakan tegel lantai, jika lantai rumah ada tegel atau ubinya, coba sobat buat segitiga alas 4 ubin dan tinggi 4 ubin

Coba sobat ukur panjang sisi miring dari segitiga di ubin tersebut (garis warna merah). Jika pengukuran sobat benar maka akan di dapat panjang sisi miring adalah 5 kali panjang ubin.

Penerapan Teorema Pythagoras di kehidupan sehari-hari

1. Penerapan dalam menyelesaikan soal
Banyak soal matematika dan fisika yang untuk menyelesaikannya perlu menggunakan rumus Pythagoras.

contoh soal Pythagoras.

Tentukan diagonal ruang dari balok dengan panjang 3 cm, lebar 4 cm, dan tinggi 5 cm. Untuk menentukan panjag diagola ruang balok tersebut mau tidak mau kita harus menggunakan rumusPythagoras.

Diagonal bidang = √(3² + 4²) =√25 = 5 cm
Diagonal ruang = √(5² + 5²) = √250 = 5√10 cm

2. Penerapan dalam praktek nyata

Penerapan teorema Pythagorasdilakukan di banyak bisang terutama bidang arsitektur. Arsitek menggunakannya untuk mengukur kemiringan bangunan, misalnya kemiringan sebuah tanggul agar mampu menahan tekanan air. Ini juga sangat membantu dalam menentukan biaya pembuatan bangunan. Seorang tukang kayu pun untuk membuat segitiga penguat pilar kayu menggunakan teorema Pythagoras.

Sumber: http://rumushitung.com/2013/05/01/teorema-pythagoras-dan-penerapannya/

Sejarah Phytagoras

Pythagoras (570 SM – 495 SM, Bahasa Yunani: Πυθαγόρας) adalah seorang matematikawan dan filsuf Yunani yang paling dikenal melalui Teoremanya.

Dikenal sebagai "Bapak Bilangan", dia memberikan sumbangan yang penting terhadap filsafat dan ajaran keagamaan pada akhir abad ke-6 SM. Kehidupan dan ajarannya tidak begitu jelas akibat banyaknya legenda dan kisah-kisah buatan mengenai dirinya.

Salah satu peninggalan Pythagoras yang terkenal adalah teorema Pythagoras, yang menyatakan bahwa kuadrat hipotenusa dari suatu segitiga siku-siku adalah sama dengan jumlah kuadrat dari kaki-kakinya (sisi-sisi siku-sikunya). Walaupun fakta di dalam teorema ini telah banyak diketahui sebelum lahirnya Pythagoras, namun teorema ini dikreditkan kepada Pythagoras karena ia yang pertama kali membuktikan pengamatan ini secara matematis.

Pythagoras dan murid-muridnya percaya bahwa segala sesuatu di dunia ini berhubungan dengan matematika, dan merasa bahwa segalanya dapat diprediksikan dan diukur dalam siklusberitme. Ia percaya keindahan matematika disebabkan segala fenomena alam dapat dinyatakan dalam bilangan-bilangan atau perbandingan bilangan. Terdapat legenda yang menyatakan bahwa ketika muridnya Hippasus menemukan bahwa $\sqrt{2}$ , hipotenusa dari segitiga siku-siku sama kaki dengan sisi siku-siku masing-masing 1, adalah bilangan irasional, murid-murid Pythagoras lainnya memutuskan untuk membunuhnya karena tidak dapat membantah bukti yang diajukan Hippasus.